ponasanje trigonometrijskih funkcija

pa evo ljudi da vam napisem ono kaj je bilo u ispitu....:D

PONAŠANJE FUNKCIJE SINUS:
Funkcija f(x)=sin x ima sljedeca svojstva:

1. nultocke funkcije su brojevi k(pi), koje vrijedi za k element od z

2. masimum funkcije je 1, a poprima se za x=(pi)/2 + 2k(pi), koje vrijedi za k element od z

3. minimum funkcije je -1, a poprima se za x=3(pi)/2 + 2k(pi), koje vrijedi za k element od z

4. funkcija je periodicna s temeljnim periodom 2(pi)

PONAŠANJE FUNKCIJE KOSINUS:
funkcija f(x)=cos x ima sljedeca svojstva:

1. nultocke su (pi)/2 + k(pi), koje vrijedi za k element od z

2. maksimum funkcije je 1, a poprima se za x=2k(pi), koje vrijedi za k element od z

3. minimum funkcije je -1, a poprima se za x=(2k + 1)*(pi), koje vrijedi za k element od z

4. funkcija je periodicna s temeljnim periodom 2(pi)

PONAŠANJE FUNKCIJE TANGENS:
Funkcija f(x)=tg x ima sljedeca svojstva:

1. nultočke su k(pi), koji vrijedi za k element od z

2. vertikalne asimptote funkcije su pravci x=(pi)/2 + k(pi), koje vrijedi za k element od z

3. funkcija je periodična s temeljnim periodom (pi).

PONAŠANJE FUNKCIJE KOTANGENS:
Funkcija f(x)=ctgt x ima sljedeca svojstva:

1. nultočke su (pi)/2 + k(pi), koje vrijedni za k element od z

2. vertikalen asimptote funkcije su pravci x=k(pi), koje vrijedi za k elemenet od z

3. funkcija je periodicna s temeljnim periodom (pi).

to vam je to....:D....vidimo se u skoli...:P

Rezime

Dragi moji,
kratak pregled naučenog i ostvarenog....odvalili smo jedan veliki dio trigonometrije...
Pred nama su trigonometrijske jednadžbe....ne,ne niste krivo pročitali...ooopet trigonometrija....
Ništa novo, ali treba upotrijebiti puno već khkh..."naučenih" stvari...
Crtanje je prošlo nešto lakše...(građevinari!!!)
Nažalost, moram ustanoviti da zadaću baš i niste proradili....


To je bilo razočarenje.
Preciznost, točnost, urednost su trebale biti znatno izvježbane prilikom crtanja....
Nikako ne mojte zaboraviti crtanje i ovaj postupak koji je Helena navela u svom postu jer kao što smo vidjeli prošle godine tražilo se u ispitu na Probnoj Državnoj maturi iz više razine.
Voljela bih da prije praznika zaokružimo ovo naučeno gradivo u cjelinu kako bi svima bilo što jasnije.
Jeste li i vi za?
Profa...

SINUSOIDA

Temeljna sinusoida je funkcija oblika:

Broj C je amplituda i vrijedi:

f(x) < ili jednako C, što znači: f(x)=C, odnosno f(x)=-C

-amplituda C određuje najveću i najmanju vrijednost funkcije

Temeljni period sinusoide je:

Fazni pomak, odnosno nul-točka desno od koje sinusoida počinje rasti:

Kako je sin0=0, formula za fazni pomak slijedi iz jednakosti wx + fi=0, a kako je osnovni period funkcije sinx jednak 2pi, formula za period slijedi iz jednakosti:
sin(w(x+P)+ fi)=sin(wx+fi) <--> wP=2pi

PRIMJERI
Temeljna sinusoida:
f(x)=2sin(3x-1)
ima amplitudu C=2, period 2/3 i nul-točku x0=1/3

Funkciju cosx također možemo promatrati kao temeljnu sinusoidu uz:
cosx = sin(x+pi/2)





nadam se da sam pomogla i da je točno! =)
pozz... ;)

Crtanje grafova trigonometrijskih funkcija

Evo, došli smo do dijela kao stvorenog za vas. Vjerujem da s njim nećemo imati problema.
Molim vas proučite i naučite (:-))svojstva i grafove osnovnih oblika trigonometrijskih funkcija.
Molim da netko od vas stavi onaj postupak crtanja sinusoide na blog.
On je osnova ...obratite pažnju na brojeve i crtajte na grafu simultano...
Pustit ću vas da sami na blog stavite postupak i možda poneki primjer, a onda ću vas nadopuniti, ali molim vas da postavite do srijede.

Što se tiče teorije morate znati sva svojstva funkcija i naravno nactati određenu sinusoidu.
Pozz....

Poneki savjet

Drago moje društvance,
znam da vam nije lako.

I da gledate u šumu ne vidjevši stablo, izgubljeni ko Ivica i Marica....
Hajde se skoncentrirajte na adicione formule, na one zadačiće sa ploče zadnji sat kad smo ponavljali...na dokaze..(pogotovo one jednostavnije).
Formule za dvostruke kuteve ne moram spominjati da mmoorraaattee znati, i to i napamet...a da i vrijednostima kuteva i ne govorim, primjeniti tablice, skužžiti, prepoznati....
Preporuka, odreći se nekog vremena i posvetiti ga matematici.....
Tu sam za sva pitanja, pa gdje ste vi?
Ovo je prvi dio tablice, drugi nisam dodavala jel je Jelena stavila....
Sretno!
Profa....

tablice- možda malo pomogne...

ispit

ljudi sutra pisemo blic....pripremite se...=).....

evo vam tablica sa svim formulama...nadam se da se neke vidi....:P

papa....=)....

rezime

Što reći?
Da nije bilo pojedinih rekla bih da nisam ništa radila s vama.
Krajnje je vrijem sjesti i dobro proučiti gradivo....i nitko vam ne brani da pitate što vam još uvijek nije jasno i da prošarate po vašim domaćim zadaćama koje ste:-) nadam swe napisali.....
Pitanja možerte postaviti ovdje kao komentare jer već idući post će biti novo gradivo još složenije od ovoga!!!
Pozdrav, vjerujem u vas...
Profa

ahhhh..sutra dobivamo valjda ispravljene testove iz matematike..nadam se da je pozitivan..llooooll

Još jedna napomena uz periodičnost....

Evo i još ispravka iz zadatka koji je rješen na postu prije....sa ostalim zadacima..
ako je P=4π temeljni period funkcije f(x)= sin x/2. provjer

znaci za funkciju sinus temeljni period funkcije se izracunava pomocu formule
P=2kπ
4π=2kπ/:2π
k=2

f(x)=sin x/2
f(x)=sin 2/2
f(x)=sin 1
To je napisano...međutim.....
što znači periodičnost...f(x+P)=f(x)
znači... sin (x+P)/2=sin (x/2+P/2)=zbog periodičnosti=sin x/2.
Što iz toga slijedi..znamo da je period za sinus 2kπ...
2kπ=P/2 ------------> P=4π...za k=1..to je jedan način dokaza
Drugi način bi bio pomoću one kratke formule da je za f(x)=Asin(wx+t) period P=2π/w.
Dobijete isto!

Ovaj dio provjere nije uopće točan i besmislen je jer ništa njime nije dokazano..
Dokaz je zapravo cijeli ovaj postupak gore naveden tj. morate naći neki k cijeli broj tako da uvrštavanjem dobijete traženi period...
Hm, nadam se da sam bila jasna...
Sretno sutra i pripremite si formulice na podsjetnike.....ništa osim njih!!
Profa

Ispravak netočnog navoda-parnost i neparnost!

Pozz...
evo kasnim, al nikad nije kasno pogotovo ako se nije pisala velika kontrolna zadaća...
Naime ima nekoliko greškica u prethodnom post...
Moja vrijedna surferica je stvarno dala sve od sebe...al evo tu sam da i ja malo pomognem...

cos(sinx)
Pazi!!!
cos(sin(-x)) = cos (-sinx)=pošto je cos parna=cos(sinx)
Znači ta je funkcija PARNA.!!!

Kod ovih zadataka sa parnošću i neparnošću nemate što razmišljati.
prepiši formulu tako da uvrstiš umjesto x-sa -x
iskoristi svojstvo poznatih funkcija i gledaj što na kraju dobiješ...
Ako dobiješ isto kao i za f(x) parna je, ako suprotan broj od f(x) neparna,a ako niš od navedenoga neodređena...i to je to!!!:-)

ponavljanje za ispit i zadaća

evo samo da vas podsjetim ak slucajno neznate. Sutra pisemo blic iz matematike. U ispitu budu zadaci iz domaće zadaće. Za zadaću imamo rješiti zadatke sa str. 54 i to zadatke 4. i 5. i 6. i 7. i 14. i 15.

znaci da pisemo parnost i neparnost funkcija, izracunavanje trigonometrijskih funkcija i izracunavanje perioda funkcije

npr.
4.
2. f(x)=sin x*cos x
f(x)=sin x(koji je neparna funkcija)*cos x(koji je parna funkcija)
znaci to je ko da mnozite bilo koje brojeve koji imaju - i + za predznake
znaci to je ko da imate
f(x)=-6+5
rjesenje bude ispalo negativno stavili vi bilo koji broj
znaci da je rjesenje ove funkcije
f(x)=sin x*cos x --> neparna funkcija

5.
treba provjeriti jesu li zadane funkcije parne

f(x)=cos(sinx)
f(x)=parna funkcija(neparna funkcija)
f(x)=neparna funkcija

6.
1. ako je sin x=-0.15 koliki je sin(-x)

sin x=-0.15
x=-8.63
sin(-x)=sin(-(-8.63))
sin(-x)=sin(8.63)
sin(-x)=0.15

a ovo se moze i izracunati po logici
znaci:
sin x=-0.15
posto je sinus neparna funkcija znaci da sin(-x)=-sin x
znaci
sin(-x)=-sin x ------> sin x=-0.15
sin (-x)=-(-0.15)
sin(-x)=0.15

7. rjesava se na istu foru ko i 5.

14.
ako je P=4π temeljni period funkcije f(x)= sin x/2. provjer

znaci za funkciju sinus temeljni period funkcije se izracunava pomocu formule
P=2kπ
4π=2kπ/:2π
k=2

f(x)=sin x/2
f(x)=sin 2/2
f(x)=sin 1

15. rjesava se isto ko i 14.

ja nisam 100% sigurna da li je ovo dobro ali kolko sam ja uspela shvatiti kaj smo radili na nastavi ovo bi trebalo biti tocno. Nadam se da sam vam pomogla. Ak vam neke nije jasno pitajte u komentarima.
sretno svima...i sutra pisemo blic
papa

evo ljudeki ovak
poceli smo sa svojstvima trigonometrijskih funkcija....stigli smo obratiti tek PARNOST i NEPARNOST

.....Funkcija može biti neodređena..ni parna..ni neparna...navedite poneki primjer.
Kakve su trigonometrijske funkcije? Koje su parne, a koje ne?
Odgovorite!....

e pa ovo kaj nam je profa zadala....hmmm...pa to smo napravili na satu ali evo vam svejedno...=)

primjer neodređene funkcije je LOGARITAMSKA FUNKCIJA (log)....

ali ako logaritamska funkcija u apsolutnoj vrijednosti tada funkcija postaje parna

trigonometrijske funkcije:

• FUNKCIJA SINUS je neparna funkcija.

• FUNKCIJA KOSINUS je panra funkcija.

• FUNKCIJA TANGENS je neparna funkcija.

• FUNKCIJA KOTANGENS je neparna funkcija.

nadam se da bude nekome pomoglo....=)....
papa do sutra....:P

Peti tjedan - parnost i neparnost funkcije

Još malo i provjera svega što smo do sada naučili...
Ostala nam je još periodičnost funkcija.
Ovaj tjedan u dva sata kratka nenajavljena provjera i velika kritika cyber učenika zbog neaktivnosti... svi moji zadaci od proteklog tjedna su neispunjeni....
Zašto??
Provjera - rezultati za zamisliti.....nužan je rad, rad i samo rad....

Pa da kratko ponovima naučeno ovaj tjedan.
Funkcija je parna akko za svaki t iz Domene vrijedi f(-t)=f(t)...
Funkcija je naparna akko za svaki x iz Domene vrijedi f(-x)=-f(x).Navedite nekoliko parnih i nekoliko neparnih funkcija....

Funkcija može biti neodređena..ni parna..ni neparna...navedite poneki primjer.
Kakve su trigonometrijske funkcije? Koje su parne, a koje ne?
Odgovorite!

Četvrti tjedan - arkus tangens i kotangens - osnovni identiteti

Zahuktavamo se.....
Arkus tangens....
Znamo da tangens može poprimiti bilo koju vrijednost iz skupa realnih brojeva.
Stoga za svaki realni broj y postoji samo jedan kut t takav da je između -90° i 90° i da je tg t = y.
Što se tiče kotangensa...dobiva se preko tangensa...
Kako?
Kako izgleda skup rješenja jednadžbe tg x=1.5?
Kako izgleda skup rješenja jednadžbe ctg x=-1.75?
Pokušajte općenito zapisati skup rješenja.

Osnovni identitet.....koji je?
Kako računamo vrijednosti ostalih trigonometrijskih funkcija ako smo zadali jednu?
Za zadaću imate str. 47. zadatak 1 pod 8, 3 zadatak pod 5, 9, 4. zadatak pod 3,6 pod 3. Strana 48. 9,10 i 11 zadatak pod 3.
Sretno!
Molim da netko odgovori na postavljena pitanja prikladnim postom.

Kako riješiti zadaću?

Lagano! Sve je to na istu foru...
Npr. Zadaci 2.3.
1. Odredi arkus sinus iz zadane vrijednosti sinusa. Rezultate zapiši u stupnjevima.
3) sin α = 0.55

Kako bi uopće mogli početi računati ovaj zadatak, na vrhu kalkulatora morate imati slovo D (degrees ilitiga stupnjevi). Ako nemate slovo D, na kalkulatoru imate gumbić MODE. Pritisnite ga te odaberite broj poslije kojega piše Deg.
Dakle... Nakon što ste to sredili pritisnete SHIFT pa sin i unesete 0.55.
Na kalkulatoru vam se pojavi ovaj broj... 33.36701.... Kada to dobijete, pretvorite u stupnjeve. To će vam biti prvo rješenje. No ne i jedino. Morate još izračunati i kut u drugom kvadrantu. Na kraju zadatak izgleda ovako:
α = 33°22'1'' + 360k
α'= 180° - 33°22'1'' = 146°37'59'' + 360k

Papa sineki...

Vrijednosti trigonometrijskih funkcija za neke posebne brojeve i brojevna kružnica... =)

Malo se slabije vidi al eto... Bolje ista nego nista =)... Nekome bude valjda od pomoci
Za sve koji neznaju...
undefined - nedefinirano
(ako kliknete na nju otvori vam se jasnija slika)

Druga slika prikazuje vrijednosti nekih kuteva na brojevnoj kružnici.

Treći tjedan - blic, vrijednosti trigonometrijskih funkcija za određene kuteve, arkus sinus i arkus kosinu

Pozdrav društvo!
Evo zahuktavamo se polako i dolazimo laganini do sve ljepših i složenijih zadataka.
Naučili smo od kuda ti lijepi brojevi koji predstavljaju vrijednosti sinusa i kosinusa za 30°, 45°, 60° i 90° te kako te vrijednosti vrtimo zamjenjujući im predznake ovisno o kvadrantu šetajući se po brojevnoj kružnici.

Molim da netko postavi i tablicu vrijednosti na naš blog...(pišem plus);-)

Naučili smo predznake funkcija u kvadrantima


Također veliku smo pozornost obratili definiranju arkus sinusa i arkus kosinusa....
Rekli smo da su to vijednosti koje dobivamo računajući na kalkulator.
Molim dva posta...jedan definicija arkus sinusa i arkus kosinusa.

Kako nalazimo kut za zadanu vrijednost sinusa, kako kosinusa. Koje su to vrijednosti za koje zadatak ima samo jedno rješenje?
Malo razmislite i očekujem hrpu postova i komentara.
Hm....jeste li riješili zadaću?

Drugi tjedan - definicija sin, cos, tg i ctg

Definirali smo brojevnu kružnicu i eksponencijalno preslikavanje točaka pravca točkama kružnice t ----E(t).
Naučili smo također da za tu točku koordinate iznose baš
T(cost, sint)
Izveli smo tangens i kotangens.
Koja smo sve svojstva za navedene funkcije izveli?
Koliko iznose vrijednosti sinusa i kosinusa za kut od 3210°,
koliko za kut od 13/2pi?
I naravno da ne zaboravim tablicu za vrijednosti i predznak funkcija molim.....
Hajde napišimo zajedno šalabahter vezan uz naučeno gradivo!

kut i radijani

Pa evo malo osnovnih stvari koje bi trebali zapamtiti..=)

Svaki kut ima orijentaciju.
Ako je smjer kuta suprotan od smjera kazaljke na satu tada je kut pozitivan, a ako je smjer kuta u smjeru kazaljke na satu, tada je kut negativan.

Radijan je mjera kuta kojim na kružnici polumjera r zatvara kružni luk duljine r.

Prvi tjedan - kut

Prvi tjedan je prošao i osim što smo se zaželjeli jedni drugih (mislim naravno na učenike međusobno..:-))započeli smo sa našom prvom cjelinom:
Trigonometrijskim funkcijama...
Nismo baš ovaj tjedan puno naučili o njima, ali vjerujem da ste o kutu nešto novo čuli.
Napomenut ću samo ono najvažnije:
orijentacija kuta
glavna mjera kuta
pretvorba u radijane i stupnjeve
1rad =57°17´45´´

Bilo bi jako lijepo da netko od vas postavi na blog tablicu kuteva i mjera u stupnjevima i radijanima.....hm...tko će....

I kao nagradni zadatak:
Svi ste čuli za poznati londonski Big Ben, najpoznatiji analogni sat na svijetu.

Možda niste znali da mu je velika kazaljka duga 4.3m, a manja 2.7m.
Odgovorite:
1. Koliki put opiše vrh veće kazaljke tijekom 24 sata?
2. Koliko treba vremena manjoj kazaljci da joj vrh prođe put od 10 metara?

uvodna riječ

Pozdrav svima!!!

Hajde da malo uključimo i računala u naše učenje matematike.
Nadam se da ćete mi pomoći u izgradnji jednog malog virtualnog matematičkog svijeta koji je namjenjen prije svega vama učenicima.
Prije svega naravno bio bi red odgovoriti na nekoliko logičnih pitanja koja se nameću kad ste krenuli i otvorili ove stranice....

1. Zašto sam uopće ovako nešto pokrenula?

Uvijek mi je najvažniji cilj u poučavanju bio da vam približim matematiku i da ju zavolite kao predmet.Kao modernim informatički potkovanim mladim generacijama mislim da je suvremen i vama blizak način komunikacije računalo, Internet imate u malom prstu i ovako imam mogućnost komunikacije sa baš svakim učenikom što u učionici za vrijeme sata ne stignem.

Pa zašto ne bismo probali neki novi, drugačiji i nadam se interesantniji način učenja matematike.

2. Što će se na ovim stranicama nalaziti?

Pokušat ću postići da na ovim stranicama kratko ponovimo osnove svakog dijela gradiva obrađenog na satu, riješimo poneki primjer i zadane domaće uratke, da iskomentiramo koji problem koji se desio tijekom nastave matematike.
Poput zajedničkog matematičkog helpdeska.
Jeste li primjetili koju sam zamjenicu upotrijebila u prethodnoj rečenici?!!!

3. Kako će se odrađivati taj zajednički posao?

Profesor će na početku postavljati osnovne pojmove, teoreme, definicije, pravila vezana uz obrađeno gradivo. Riješit će se poneki primjer i zadavati zadaća... hm baš kao u školi...postaje dosadno?!
Vaš bi zadatak bio da kod kuće prilikom učenja pogledate sadržaj određenog bloga koji je trenutno aktualan ili ako ste u zaostatku prethodne blogove, upišete rješenja zadanih zadataka bilo sa nastave ukoliko to budem od vas tražila ili ovdje postavljenih zadataka, riješite poneki dodatni zadatak, odradite neki projektić.
Moja bi konačna namjera bila da zapravo učenici i pišu postove sa kratkim sažetkom naučenoga na satovima..u principu da vas ja samo nadgledam i vodim, no naravno za to bi se dogovorili na satovima i podijelili zaduženja.
Osnovna pravila ponašanja i slanja postova dogovorit ćemo na satu..da nam se ne bi dogodila šuma neželjenih postova.
Učenici bi mogli sami obraditi poneku nastavnu jedinicu, postaviti poneki zadatak ili sažetak gradiva, komentirati neku situaciju sa sata, nedoumicu, pitati.....to je u biti i osnovna zamisao!!!
Zgodno je što svakom postu možete dodati komentar..što će biti izvrsno mjesto za diskusiju.
To ne bi bio posao koji bi trebali raditi svakodnevno..ali nužno barem jednom tjedno.
Koliko će biti interesantno ovisit će o svima nama; zajedno ćemo kreirati naš mali matematički virtualni svijet.
U izradi ovih stranica uključeni su svi zainteresirani i kreativni učenici....

4. Zašto uopće da to radimo i da li će to utjecati na moju ocjenu?

Zašto ne?
Nije li fora reć da si na kompu učio matku?!
Ili nešto tipa :"Hej upravo sam predao zadaću preko kompa!" ili " Hej tnx, pa sad mi je jasno kak se to računa."
U daljnjem ćete se školovanju sigurno susretati s novim metodama poučavanja, pokušat ću vas barem malko uvoditi u takav način i učenja i komuniciranja jer je potrebno da se naučite i pravilno pisati postove i znati pravila pisanja postova. Iako je to tek zrnce mudrosti....to je daleko od moodle-a i inih lms modernih sustava koji su saživjeli na fakultetskom obrazovanju.

Uvijek treba pokušat naučit nešto novo, doživjet nešto drugačije, stjeći nova saznanja.
Treba htjeti!!! Ne samo zbog ocjena.
E,da ocjene..... Pa iskreno vidjet ćemo što će od svega ovoga ispasti....

U svakom slučaju bit će stimulativne .

Iz aktivnosti za početak, profesor kao kreator oih stranica može pregledavati postove i za svakog učenika vidjeti koliko je bio aktivan.
Ovisno o sadržaju posta, postavljenom zadatku i ozbiljnosti kojom pristupite cijeli ovaj zajednički projektić može dobiti na kvaliteti i iz njega ću tad moći i ocijeniti nečiji rad....štoviše postoji i mogućnost da se vi međusobno ocijenjujete...(pojedine postove).
Objavimo natječaj za najbolje napravljen sažetak nekog dijela gradiva, najbolji šalabahter..ma čudesne su mogućnosti suvremene nastave.

Da li vam sada sve zvuči barem malo interesantnije?
ZNAči:
1. ako želim
2.barem jednom tjedno
3.mogu nešto naučiti
4.možda mogu i zaraditi koju dodatnu ocjenu
5.možda bi mi se mogao svidjeti ovaj način učenja
6.pa pokušat ću
7.ok pa krenimo s radom!!!